Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆 （0＜b＜2）的焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1 ， k2 ， 当2m2﹣2k2=1时，求k1k2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，

又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，

所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），

联立 ，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，

所以 ，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2= ，

所以 ， ，

则

【解析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1k2的值．