Question

已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f₂（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f₁（x）+f₂（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），设出函数的解析式，然后根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）由已知f（x）=f（a），得x²+=a²+，在同一坐标系内作出f₂（x）=和f₃（x）=-x²+a²+的大致图象，然后利用数形结合进行讨论求证．
解答：解：（1）由已知，设f₁（x）=ax²，由f₁（1）=1，得a=1，
∴f₁（x）=x²．
设f₂（x）=（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为
A（，）B（-，-）
由|AB|=8，得k=8，．∴f₂（x）=．故f（x）=x²+．

（2）证法一：f（x）=f（a），得x²+=a²+，
即=-x²+a²+．
在同一坐标系内作出f₂（x）=和f₃（x）=-x²+a²+的大致图象，
其中f₂（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f₃（x）与的图象是以（0，a²+）为顶点，开口向下的抛物线．
因此，f₂（x）与f₃（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f₂（2）=4，f₃（2）=-4+a²+
当a＞3时，．f₃（2）-f₂（2）=a²+-8＞0，
∴当a＞3时，在第一象限f₃（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f₂（x）图象的上方．
∴f₂（x）与f₃（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解．

证法二：由f（x）=f（a），得x²+=a²+，
即（x-a）（x+a-）=0，得方程的一个解x₁=a．
方程x+a-=0化为ax²+a²x-8=0，
由a＞3，△=a⁴+32a＞0，得
x₂=，x₃=，
∵x₂＜0，x₃＞0，∴x₁≠x₂，且x₂≠x₃．
若x₁=x₃，即a=，则3a²=，a⁴=4a，
得a=0或a=，这与a＞3矛盾，∴x₁≠x₃．
故原方程f（x）=f（a）有三个实数解．
点评：此题考查了方程根的存在性及其个数的判断，还考查了待定系数法求函数的解析式，综合性比较强，难度比较大．