Question

已知a、b、m、n∈N₊，{a_n}是首项为a，公差为b的等差数列；{b_n}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）数列{1+a_m}与数列{b_n}的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列{c_n}，求{c_n}的前n项之和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据已知，先利用等差数列{a_n}、等比数列{b_n}的通项公式分别表示a_m，b_n，然后代入a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．进行推理可得

a≥2 2≤a＜3

，从而可得a
（2）1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．?b=

3

2n-1-(m-1)

≥3，且b∈N₊，从而2^n-1-（m-1）=1?m=2^n-1，代入可得c_n及s_n

解答：解：（1）∵a_m=a+（m-1）b，b_n=b•a^n-1，
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
∴由a+b＜ab，a、b∈N₊得a＞1+

a

b

．
∵0＜

a

b

＜1，∴a≥2．
又得b＞1+

b

a

，而

b

a

＞1，∴b≥3．
再由ab＜a+2b，b≥3，得a＜

2b

b-1

=2(1+

1

b-1

)≤3．
∴2≤a＜3
∴a=2．
（2）设1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．
∴3+（m-1）b=b•2^n-1，b=

3

2n-1-(m-1)

∈N+．
∵b≥3，∴2^n-1-（m-1）=1．∴2^n-1=m．
∴c_n=b_n=3•2^n-1．
故S_n=3（1+2++2^n-1）=3（2ⁿ-1）．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及对分析问题、解决问题的能力，还考查了逻辑推理的能力．具备一定的综合性．