Question

【题目】已知椭圆C： 的右焦点为F(2,0)，过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为 ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为1，试判断直线 l是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ） .

【解析】

（Ⅰ）设，由点差法可得，MN的中点坐标为，则可得，由此能求出椭圆C的方程．

（II）设直线AB：，联立方程得：由此利用韦达定理、直线斜率公式，结合已知条件能求出直线l经过定点．

（I）设，则，两式相减得

,，

又MN的中点坐标为 ，且M、N、F、Q共线

因为，所以，

因为所以，

所以椭圆C的方程为.

（II）设直线AB：，联立方程得：

设则 ，

因为，所以，所以

所以，所以，所以

所以，因为，所以，

所以直线AB：，直线AB过定点 ，

又当直线AB斜率不存在时，设AB：，则，因为

所以适合上式，所以直线AB过定点.