Question

14．已知函数f（x）=lnx-bx+c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在区间[$\frac{1}{2}$，5]内，恒有f（x）≥x²+lnx+kx成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式、法则求出f′（x），根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）求出函数的定义域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）先化简f（x）≥x²+lnx+kx，并分离常数k，再构造函数g（x）=$-x-2-\frac{3}{x}$，求出g′（x）并求出g′（x）大于、小于零的解集，求出g（x）的单调区间和最小值，再求出k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=$\frac{1}{x}-b$，则f′（1）=1-b，
∵在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0，
∴切线斜率为-1，则1-b=-1，得b=2 …2分
将（1，f（1））代入方程x+y+4=0得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=-b+c=-5，将b=2代入得c=-3，
故f（x）=lnx-2x-3 …5分
（Ⅱ）依题意知函数的定义域是（0，+∞），且$f′（x）=\frac{1}{x}-2$，
令f′（x）＞0得，$0＜x＜\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0得，$x＞\frac{1}{2}$，
故f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$），单调减区间为（$\frac{1}{2}$，+∞） …9分
（Ⅲ）由f（x）≥x²+lnx+kx得，lnx-2x-3≥x²+lnx+kx，
∴k≤$-x-2-\frac{3}{x}$在区间[$\frac{1}{2}$，5]内恒成立，…10分
设g（x）=$-x-2-\frac{3}{x}$，则g′（x）=$-1+\frac{3}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0得，x=$\sqrt{3}$或x=$-\sqrt{3}$（负值舍去），
令g′（x）＞0得$0＜x＜\sqrt{3}$，令g′（x）＜0得$x＞\sqrt{3}$，
故在（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）上g（x）单调递增，在（$\sqrt{3}$，5）上g（x）单调递减，
∴g（x）的最小值只能在区间[$\frac{1}{2}$，5]的端点处取得 …12分
∵g（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{2}-2-6$=$-\frac{17}{2}$，g（5）=-5-2-$\frac{3}{5}$=$-\frac{28}{5}$，
∴g（x）的最小值是g（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{17}{2}$．
所以k≤$-\frac{17}{2}$，即k的取值范围为（-∞，$-\frac{17}{2}$）． …14分．

点评 本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分离常数法，转化思想，属于中档题．