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如图,正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,DE∥PA,且PA=2DE=2,F是PC的中点.
(1)求证:EF∥平面ABCD;
(2)求点A到平面PCE的距离;
(3)求平面PCE与面ABCD所成锐二面角的余弦值.

【答案】分析:(1)要证明EF∥平面ABCD,关键是要在平面ABCD中找到一条与EF平行的直线,我们不妨AC∩BD=O,连接OF,则易证ODEF为平行四边形,进而得到EF∥OD,然后根据线面平行的判定定理即可得到结论.
(2)由已知条件,我们易得到平面PCE⊥平面PAC,则过A点做PC的垂线,垂足为H,则AH即为点A到平面PCE的距离,解△PAC,易得结果.
(3)延长PE与AD交于点G,则CG即为两面角的棱,注意到PA=2DE=2,F是PC的中点,我们易得GC⊥PC,且GC⊥AC,则∠PCA为二面角P-CG-A的平面角,解三角形PAC即可得到结论.
解答:解:(1)设AC∩BD=O,连接OF,
则OFDE,
∴ODEF为平行四边形.
故EF∥平面ABCD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD.
又AC⊥BD,∴BD⊥平面PAC.
∵EF∥BD,∴EF⊥平面PAC.
又EF?平面PCE,∴平面PCE⊥平面PAC.
作AH⊥PC,垂足为H,则AH⊥平面PCE.
∴AH为点A到平面PCE的距离
在Rt△PAC中,

∴点A到平面PCE的距离为
(3)设PE∩AD=G,连接CG.∵PA=2DE,
∴AD=DG,从而CG∥BD,又BD⊥平面PAC,∴CG⊥平面PAC.
∴∠PCA为二面角P-CG-A的平面角.
在Rt△PAC中,
∴平面PCE与面ABCD所成锐二面角的余弦值为
点评:求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠PCA为二面角P-CG-A的平面角,通过解∠PCA所在的三角形求得∠PCA.其解题过程为:作∠PCA→证∠PCA是二面角的平面角→计算∠PCA,简记为“作、证、算”.
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2
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2
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6
3
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2
4
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