Question

已知向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(cosx，2cosx)
（1）求f(x)=

a

•

b

，并求f（x）的单调递增区间．
（2）若

c

=(2，1)，且

a

-

b

与

c

共线，x为第二象限角，求(

a

+

b

)•

c

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，几何二倍角、辅助角公式化简函数，利用正弦函数的性质，可得f（x）的单调递增区间；
（2）利用向量共线的条件，x为第二象限角，求出sinx=

5

5

，cosx=-

2 5

5

，即可求得结论．

解答：解：（1）∵向量

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(cosx，2cosx)
∴f(x)=2sinxcosx+2cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，可得x∈[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]
∴函数的增区间是[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（2）∵

a

-

b

=(2sinx-cosx，-cosx)，(

a

-

b

)∥

c

∴2sinx-cosx=-2cosx
∴tanx=-

1

2

∵x为第二象限角，∴sinx=

5

5

，cosx=-

2 5

5

∴(

a

+

b

)•

c

=2(2sinx+cosx)+3cosx=-

5 5

6

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．