Question

3．直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1．
（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数k的取值范围；
（2）若直线分别与双曲线的两支各有一个公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 将直线方程代入双曲线方程，化为关于x的方程，利用方程的判别式，即可求得k的取值范围．

解答 解：由题意，直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1，可得2x²-（kx+1）²=1，整理得（2-k²）x²-2kx-2=0．
（1）只有一个公共点，当2-k²=0，k=±$\sqrt{2}$时，符合条件；当2-k²≠0时，由△=16-4k²=0，解得k=±2；
（2）交于异支两点，$\frac{-2}{2-{k}^{2}}$＜0，解得-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是将问题转化为方程根的问题，运用判别式解决，注意只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况，属于易错题．