Question

已知函数f(x)=2cosxsin(

π

3

+x)-

3

sin2x+

1

2

sin2x
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）向右平移m个单位（m＞0）使得图象关于y轴对称，求m的最小值；
（3）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+

π

3

)，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ求出x的范围，即得f（x）的单调递减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换求出g（x）的解析式为2sin(2x+

π

3

-2m)，令

π

3

-2m=kπ+

π

2

，k∈Z，
及m＞0，求出m的最小值．
（3）由 f(x0)=

6

5

=2sin(2x0+

π

3

)，解出2sin(2x0+

π

3

)的值，并根据2x0+

π

3

∈[

5π

6

，

4π

3

]，求出cos（2x0+

π

3

） 的值，由cos2x₀=cos[（2x0+

π

3

 ）-

π

3

]利用两角差的余弦公式求得结果．

解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(

π

3

+x)-

3

sin2x+

1

2

sin2x=2cosx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）-

3

sin²x+

1

2

sin2x
=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得 kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．
（2）f（x）右移m个单位后，得到函数为g(x)=2sin[2(x-m)+

π

3

]=2sin(2x+

π

3

-2m)，由于图象关于y轴对称，
∴

π

3

-2m=kπ+

π

2

，k∈Z．∴m=-

kπ

2

-

π

12

．
∵m＞0，∴k=-1时，mmin=

5π

12

．
（3）∵f(x0)=

6

5

=2sin(2x0+

π

3

)，∴sin(2x0+

π

3

)=

3

5

，又x0∈[

π

4

，

π

2

]，
故2x0+

π

3

∈[

5π

6

，

4π

3

]，故cos（2x0+

π

3

）=-

4

5

．
cos2x₀=cos[（2x0+

π

3

 ）-

π

3

]=cos（2x0+

π

3

）cos

π

3

+sin（2x0+

π

3

）sin

π

3

=

3 3 -4

10

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．