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(2012•吉安县模拟)已知a,b都为正实数,且
1
a
+
1
b
=1
,则
2+b
2ab
的最大值为
9
16
9
16
分析:由已知可得a=
b
b-1
,结合a>0,b>0可得b>1,代入
2+b
2ab
=
2+b
2b•
b
b-1
=
(2+b)(b-1)
2b2
=
b2+b-2
2b2
=-(
1
b
)
2
+
1
2
1
b
+
1
2
,利用二次函数的性质可求
解答:解:∵
1
a
+
1
b
=1

∴ab=a+b即a=
b
b-1

∵a>0,b>0
∴b>1
2+b
2ab
=
2+b
2b•
b
b-1
=
(2+b)(b-1)
2b2
=
b2+b-2
2b2
=-(
1
b
)
2
+
1
2
1
b
+
1
2

=-(
1
b
-
1
4
)
2
+
9
16
9
16

2+b
2ab
的最大值为
9
16

故答案为:
9
16
点评:本题主要考查了二次型函数值域的求解,解题中利用b表示a后要注意由a>0,b>0得到b>1的范围不要漏掉
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2
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5
2
15
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