Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，AB=1
（1）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG； 
（2）求三棱锥C-EFG的体积．

Answer 1

分析：（1）先证线面平行，再由线面平行证明面面平行即可；
（2）先根据正方体的性质判断棱锥的高与底面面积，再利用棱锥的体积公式计算即可．

解答：解：（1）证明：连接BC₁，C₁D，∵E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，
∴EG∥BC₁，又BC₁∥AD₁，∴EG∥AD₁
EG?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，∴EG∥平面AB₁D₁
同理FG∥平面AB₁D₁，又FG∩EG=G，
∴平面A B₁D₁∥平面EFG．
（2）∵E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点，AB=1
∴CE=CF=CG=

1

2

，又∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴V_C-EFG=

1

3

×S_△CEF×CG=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

48

．

点评：本题考查面面平行的判定及三棱锥的体积计算．