Question

已知直线方程为（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0．
（1）证明：不论λ为何实数，直线恒过定点．
（2）直线m过（1）中的定点且在两坐标轴的截距的绝对值相等，求满足条件的直线m方程．

Answer 1

分析：（1）直线方程即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由

x+2y=0 3x-y+7=0

可得

x=-2 y=1

，从而求得直线恒过定点A（-2，1）．
（2）当直线过原点时，由点斜式求得直线方程为 y=-

1

2

x，当直线不过原点时，设方程为x+y=a，或 x-y=b，把定点A的坐标代入所设的方程，求出a、b的值，即可求得
满足条件的直线m方程．

解答：解：（1）证明：∵直线方程为（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0，即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由

x+2y=0 3x-y+7=0

可得

x=-2 y=1

，
故不论λ为何实数，直线恒过定点A（-2，1）．
（2）由题意可得，直线m经过定点A（-2，1），且在两坐标轴的截距的绝对值相等．
当直线过原点时，由点斜式求得直线方程为 y=-

1

2

x，即 x+2y=0．
当直线不过原点时，设方程为x+y=a，或 x-y=b，把定点A的坐标代入可得-2+1=a，或-2-1=b，
解得 a=-1，b=-3，故直线的方程为 x+y+1=0，或  x-y+3=0．
综上可得，所求的直线的方程为 x+2y=0，或 x+y+1=0，或 x-y+3=0．

点评：本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．