Question

已知椭圆的一个焦点为，与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点（如图），向量与向量=共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为k的直线过点C（0，2），且与椭圆交于P，Q两点，求△POC与△QOC面积之比的取值范围．

Answer 1

解：（1）由向量与向量=共线，可得
∵焦点为，∴a²-b²=8，∴b²=8，a²=16
∴椭圆的方程为；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且x₁＜0，x₂＞0，
PQ的方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y，可得（2+k²）x²+4kx-12=0
∴x₁+x₂=-①，x₁x₂=-②
设△POC与△QOC面积之比为λ，即
结合①②得（1-λ）x₁=-，λx₁²=-
∴=＞
∴
∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为．
分析：（1）利用向量共线，确定a，b的关系，结合椭圆的焦点坐标，即可求得椭圆的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得比值的范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．