Question

【题目】田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c．三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c． （Ⅰ）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
（Ⅱ）为了得到更大的获胜概率，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马．那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？

Answer 1

【答案】解：记A与a比赛为（A，a），其它同理． （Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（A，a）、（B，b）、（C，c）；（A，a）、（B，c）、（C，b）；
（A，b）、（B，c）、（C，a）：（A，b）、（B，a）、（C，c）；
（A，c）、（B，a）、（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）；
其中田忌获胜的只有一种：（A，c）、（B，a）、（C，b），故田忌获胜的概率为 ，
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）、（C，b）或（B，b）、（C，a）．
田忌获胜的概率为 ，
②若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）、（B，b）或（C，b）、．（B，a）．
田忌获胜的概率也为 ．
所以，田忌按c、a、b或c、b、a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大 ．
【解析】（Ⅰ）列出齐王与田忌赛马的所有情况，从而求概率 ；（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c，从而安排后两场，求概率．