Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意设椭圆的标准方程为 ，

由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，

可得：a+c=3，a﹣c=1，

∴a=2，c=1

∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆的标准方程为

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立 ，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，

则

又

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴

∴7m2+16mk+4k2=0

解得： ，且均满足3+4k2﹣m2＞0

当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；

当 时，l的方程为 ，直线过定点

所以，直线l过定点，定点坐标为

【解析】（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．