Question

已知集合A={（x，y）|x=n，y=na+b，n∈Z}，B={（x，y）|x=m，y=3m²+12，m∈Z}．若存在实数a，b使得A∩B≠∅成立，称点（a，b）为“￡”点，则“￡”点在平面区域C={（x，y）|x²+y²≤108}内的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个

Answer 1

【答案】分析：集合A，B都是不连续的点集．“存在实数a，b使得A∩B≠∅成立”的含义就是“存在实数a，b使得na+b=3n²+12（n∈Z）有解”，（A∩B时x=n=m），再抓住主参数a，b，则此问题的几何意义是：动点（a，b）在直线l：na+b=3n²+12上，且与圆x²+y²=108相交或在内部．
解答：解：由A∩B≠∅得，na+b=3n²+12，（A∩B时x=n=m），
对于任意的整数n，动点（a，b）的集合是直线l：na+b=3n²+12，
由于圆x²+y²=108的圆心到直线l的距离d==3（+）≥6．
∵n为整数，∴上式不能取等号，所以直线和圆相离．
所以两者无有公共点．
故选A．
点评：本题将集合转化为曲线，用集合的方法研究，利用了数形结合的思想．