Question

7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，$acosC+\sqrt{3}asinC-b-c=0$
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式，利用三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式可得4=b²+c²-bc≥bc，根据三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得：$acosC+\sqrt{3}asinC-b-c=0\\?sinAcosC-\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$
$\begin{array}{l}?sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sin（A+C）+sinC\\?\sqrt{3}sinA-cosA=1\\?sin（A-{30°}）=\frac{1}{2}\\?A-{30°}={30°}\\?A={60°}\end{array}$
（Ⅱ）∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\sqrt{3}$，当且仅当b=c时，等号取到．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，基本不等式的应用，考查了三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用，属于中档题．