【题目】对于函数y=H(x),若在其定义域内存在x0,使得x0·H(x0)=1成立,则称x0为函数H(x)的“倒数点”.已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x+1)2-1.
(1)求证:函数f(x)有“倒数点”,并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数;
(2)若当x≥1时,不等式xf(x)≤m[g(x)-x]恒成立,试求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)[1,+∞).
【解析】
(1)构造函数 (x>0),转化为研究该函数的零点问题即可;
(2)对不等式进行转化得2x·ln x≤m(x2-1),当x≥1时恒成立,构造函数,x≥1,通过求导分析函数的单调性最值求参数范围即可.
(1)证明 设h(x)=ln x- (x>0),则h′(x)=+>0(x>0),所以h(x)在(0,+∞)为单调递增函数.
而h(1)<0,h(e)>0,
所以函数h(x)有零点且只有一个零点.
所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”.
(2)xf(x)≤m[g(x)-x]等价于2x·ln x≤m(x2-1),
设d(x)=2ln x-m,x≥1.
则,x≥1,
易知-mx2+2x-m=0的判别式为Δ=4-4m2.
①当m≥1时,d′(x)≤0,d(x)在[1,+∞)上单调递减,d(x)≤d(1)=0,符合题意;
②当0<m<1时,方程-mx2+2x-m=0有两个正根且0<x1<1<x2,则函数d(x)在(1,x2)上单调递增,此时d(x)>d(1)=0,不合题意;
③当m=0时,d′(x)>0,d(x)在(1,+∞)上单调递增,此时d(x)>d(1)=0,不合题意;
④当-1<m<0时,方程-mx2+2x-m=0有两个负根,d(x)在(1,+∞)上单调递增,此时d(x)>d(1)=0,不合题意;
⑤当m≤-1时,d′(x)≥0,d(x)在(1,+∞)上单调递增,此时d(x)>d(1)=0,不合题意.
综上,实数m的取值范围是[1,+∞).
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的非负半轴重合,若曲线的极坐标系方程为
,直线的参数方程为为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;
(2)设点直线与曲线交于两点, 求的值.
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【题目】在直角坐标系平面上的一列点,,…,,记为,若由构成的数列满足,,其中为与轴正方向相同的单位向量,则称为点列.
(1)判断,,,…,,是否为点列,并说明理由;
(2)若为点列.且点在点的右上方,(即)任取其中连续三点,,判断的形状(锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),并给予证明;
(3)若为点列,正整数,满足.求证:.
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【题目】从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,其茎叶图如图.根据茎叶图,下列描述正确的是( )
A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
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【题目】槟榔原产于马来西亚,中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区,在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材,在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品,但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解,两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况,分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查,将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为,从班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为,求的概率;
(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人,求被抽到班同学人数的分布列和数学期望.
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