Question

【题目】设函数 ，
（1）求证： ；
（2）当x≥1时，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：要证明 ，即 ，

∵x＞0，∴也就是要证明lnx≤x﹣1，即lnx﹣x+1≤0，

下面证明lnx﹣x+1≤0恒成立，

令g（x）=lnx﹣x+1， ，令g'（x）=0，得x=1，

可知：g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

∴g（x）≤g（1）=ln1﹣1+1=0，

则 ；

（2）解：当x≥1时，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立， ，即xlnx﹣a（x2﹣1）≤0，

令h（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），h'（x）=lnx+1﹣2ax，

令H（x）=lnx+1﹣2ax，∴ ，

①当a≤0时，H'（x）＞0恒成立，

∴H（x）在[1，+∞）上递增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1﹣2a＞0，

∴h（x）在[1，+∞）上递增，

∴h（x）≥h（1）=0，

∴a≤0不符合题意；

②当 时， ，

当 时，H'（x）＞0，H（x）递增，h'（x）=H（x）≥H（1）=1﹣2a＞0，

从而h（x）在 上递增，

∴h（x）≥h（1）=0，

∴ 不符合题意；

③当 时， ，H'（x）＜0恒成立，

∴H（x）在[1，+∞）上递减，h'（x）=H（x）≤H（1）=1﹣2a＜0，

∴h（x）在[1，+∞）上递减，

∴h（x）≤h（1）=0，

∴ 符合题意．

综上所述：a的取值范围是 ．

【解析】（1）要证明 f ( x ) ≤ 1 ,只需要证明lnx≤x﹣1，构造函数g（x）=lnx﹣x+1，通过求导不难证明g（x）≤g（1）=0，结论得证；（2）当x≥1时，f（x）≥lnx﹣a（x﹣1）恒成立，即xlnx﹣a（x2﹣1）≤0，构造函数h（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），通过求导后分情况讨论①a≤0时，②0 < a < ，③a≥三个情况可得出a的取值范围.