Question

【题目】已知椭圆 与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2 ， 抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|= ． （Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（Ⅱ）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1， ∴点M到直线x=﹣1的距离等于点M到焦点F2的距离，
得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线，即 ，
解得：p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x；
可知椭圆的右焦点F2（1，0），左焦点F1（﹣1，0），
由抛物线的定义及 ，得 ，
又 ，解得： ，
由椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|= ，
∴a=3，又c=1，得b2=a2﹣c2=8，
∴椭圆的方程为 ．
（ II）显然k≠0，m≠0，
由 ，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，
由题意知△1=16﹣16km=0，得km=1，
由 ，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，
其中 （9k2+8）（9m2﹣72）＞0，
化简得9k2﹣m2+8＞0，
又 ，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，
切线在x轴上的截距为 ，又 ，
∴切线在x轴上的截距的取值范围是（﹣9，0）．
【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线，则 ，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的截距为 ，又 ，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围．