【题目】定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件:
①对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);
②当x>1时,f(x)<0;
③f(2)=﹣1
(I)求f(1)和 的值;
(II)试用单调性定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(III)求满足f(log4x)>2的x的取值集合.
【答案】解:(Ⅰ)令a=b=1,可得2f(1)=f(1),
解得f(1)=0;
令a=b=2,可得2f(2)=f(4)=﹣2,
令a=4,b= ,可得f(4)+f( )=f(1)=0,
即有f( )=﹣f(4)=2;
(Ⅱ)证明:设x1 , x2∈(0,+∞)且x1<x2 ,
可得 >1,即有f( )<0,
则f(x2)=f(x1 )=f(x1)+f( )<f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(Ⅲ)f(log4x)>2即为
f(log4x)> ,
由(Ⅱ)f(x)在(0,+∞)上是减函数
所以 ,即为 ,
解得 ,
故不等式的解集为(1, )
【解析】(Ⅰ)令a=b=1,代入计算即可求得f(1)=0;令a=b=2,求得f(4)=﹣2,令a=4,b= ,即可得到所求值;(Ⅱ)运用单调性的定义证明,注意运用条件可得 >1,即有f( )<0;(Ⅲ)f(log4x)>2即为f(log4x)> ,由(Ⅱ)f(x)在(0,+∞)上是减函数,可得不等式组,解得即可得到所求集合.
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【题目】已知等差数列{an}中,a5=9,a7=13,等比数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1 , n∈N* . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an+bn}的前n项和Sn .
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【题目】已知函数f(x)=3x2﹣kx﹣8,x∈[1,5].
(1)当k=12时,求f(x)的值域;
(2)若函数f(x)具有单调性,求实数k的取值范围.
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【题目】设数列的前项和为,且.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)设数列的前项和为,求证: 为定值;
(3)判断数列中是否存在三项成等差数列,并证明你的结论.
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【题目】设离心率为 的椭圆 的左、右焦点为 , 点P是E上一点, , 内切圆的半径为 .
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线上,A、B在椭圆E上,若矩形ABCD的周长为 , 求直线AB的方程.
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【题目】已知数列{an}的首项a1= ,an+1= ,n=1,2,…
(1)求证:{ ﹣1}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)证明:对任意的x>0,an≥ ﹣ ( ﹣x),n=1,2,…
(3)证明:n﹣ ≥a1+a2+…+an> .
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【题目】某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润如表所示:
体积(升/件) | 重量(公斤/件) | 利润(元/件) | |
甲 | 20 | 10 | 8 |
乙 | 10 | 20 | 10 |
在一次运输中,货物总体积不超过110升,总重量不超过100公斤,那么在合理的安排下,一次运输获得的最大利润为( )
A.65元
B.62元
C.60元
D.56元
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