【题目】如图所示,在正三棱柱中,点
是
的中点,点
是
的中点,所有的棱长都为
.
(1)求证:;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由条件可证明平面
,得
,由此可证明
平面
,即可证明
(2)利用三棱锥等体积法,即
,分别计算两个棱锥的体积,即可求出点
到平面
的距离.
(1)在正三棱柱中,底面
为正三角形,而点
为
的中点,所以
.
又侧棱底面
,
平面
,则
.
而,所以
平面
,且
平面
,
从而.
正三棱柱所有棱长均相等,点是
的中点,
所以,
,
,从而
.
由,得
.
又点,所以
平面
,从而
.
(2)记点到平面
的距离为
,
则三棱锥的体积为
.
由(1)证明过程可知,平面
,且
平面
,从而
.
由条件计算得,,
,
的面积为
,从而
.
在正三棱柱中,过点
作
的垂线交
于
点,
又侧棱底面
,
平面
,则
.
而,所以
平面
,
即是三棱锥
的高,且
,
.
而,所以
,
,
即点到平面
的距离为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有一块铁皮零件,其形状是由边长为的正方形截去一个三角形
所得的五边形
,其中
,如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮
,使得矩形相邻两边分别落在
上,另一顶点
落在边
或
边上.设
,矩形
的面积为
.
(1)试求出矩形铁皮的面积
关于
的函数解析式,并写出定义域;
(2)试问如何截取(即取何值时),可使得到的矩形
的面积最大?
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【题目】已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l:,使得
成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列和
满足:
,
,
且对一切
,均有
.
(1)求证:数列为等差数列,并求数列
的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)设,记数列
的前
项和为
,求正整数
,使得对任意
,均有
.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求证:平面PEC⊥平面PCD.
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【题目】
给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(I)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线,使得
与椭圆C都只有一个交点,且
分别交其“准圆”于点M,N.
(1)当P为“准圆”与轴正半轴的交点时,求
的方程;
(2)求证:|MN|为定值.
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