【题目】已知圆C的圆心坐标且与线y=3x+4相切,
(1)求圆C的方程;
(2)设直线与圆C交于M,N两点,那么以MN为直径的圆能否经过原点,若能,请求出直线MN的方程;若不能,请说明理由.
【答案】(1)(x-2)2+y2=10(2)y=-x+1+或y=-x+1-
【解析】
(1)由直线与圆相切得,圆心到直线的距离即为半径,从而得解;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),进而通过直线与圆联立得到2x2-(4+2m)x+m2-6=0,由韦达定理可得MN中点H的坐标为(,),假设以MN为直径的圆经过原点,则有|OH|=|MN|,进而由垂径定理及坐标表示距离列方程求解即可.
(1)根据题意,
所以圆的标准方程为:(x-2)2+y2=10;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)是直线y=-x+m与圆C的交点,
联立y=-x+m与(x-2)2+y2=10可得:2x2-(4+2m)x+m2-6=0,
则有x1+x2=m+2,x1x2=,
则MN中点H的坐标为(,),
假设以MN为直径的圆经过原点,则有|OH|=|MN|,
圆心C到MN的距离d=,
则有|MN|=2=2,
又由|OH|=|MN|,
则有()2+()2=10-,
解可得m=1±,
经检验,m=1±时,直线与圆相交,符合题意;
故直线MN的方程为:y=-x+1+或y=-x+1-.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sin C的值.
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【题目】已知椭圆C:mx2+3my2=1(m>0)的长轴长为 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程和离心率.
(2)设点A(3,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且点P在y轴的右侧.若BA=BP,求四边形OPAB面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx.
(Ⅰ)将函数f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x)的图象,若x∈[ , ],求函数g(x)的值域;
(Ⅱ)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)= +1,A∈(0, ),a=2 ,b=2,求△ABC的面积.
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【题目】已知O为坐标原点,抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为 ,曲线C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于x轴.
(Ⅰ)求线段OQ的长;
(Ⅱ)设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,试问:l2是否过定点?请说明理由.
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【题目】如图,在边长为4的正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将沿DE,EF,DF折成正四面体,则在此正四面体中,下列说法正确的是______.
异面直线PG与DH所成的角的余弦值为;
;
与PD所成的角为;
与EF所成角为
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【题目】已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=﹣1,直线l与抛物线相交于不同的A,B两点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如果直线l过抛物线的焦点,求 的值;
(3)如果 ,直线l是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cos = .
(1)若a=3,b= ,求c的值;
(2)若f(A)=sin ( cos ﹣sin )+ ,求f(A)的取值范围.
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