练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S3=9，S6=36．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）是否存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；
    （3）设数列{bn}的通项公式为bn=3n-2．集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，求{cn}的通项公式．
    分析：（1）设等差数列{an}的公差是d，由S3=9和S6=36，得
    3a1+3d=9
    6a1+15d=36
    ，由此能够求出数列{an}的通项公式．
    （2）存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列．由am，am+5，ak成等比数列，知（2m-1）（2k-1）=（2m+9）2，解得k=m+10+
    50
    2m-1
    ，m，k是正整数，由此能求出m，k的值．
    （3）由a3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，a3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，a3k=2•3k-1=6k-1，b2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a3k-2，b2k=3•2k-2=6k-2∉A，由此能求出{cn}的通项公式．
    解答：解：（1）设等差数列{an}的公差是d，
    由S3=9和S6=36，
    得
    3a1+3d=9
    6a1+15d=36
    ，解得a1=1，d=2，
    ∴an=a1+（n-1）d=2n-1，
    故数列{an}的通项公式an=2n-1．
    （2）存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列．
    ∵存在正整数m、k，使am，am+5，ak成等比数列，
    ∴（2m-1）（2k-1）=（2m+9）2，
    ∴2k-1=
    (2m+9)2
    2m-1
    =
    (2m-1+10)2
    2m-1
    =2m-1+20+
    100
    2m-1
    ，
    即k=m+10+
    50
    2m-1
    ，m，k是正整数，
    ∴存在正整数m，k，使am，am+5，ak成等比数列，
    m，k的值分别是m=1，k=61或m=3，k=23，或m=13，k=25．
    （3）∵a3k-2=2（3k-2）-1=6k-5，
    a3k-1=2（3k-1）-1=6k-3，
    a3k=2•3k-1=6k-1，
    b2k-1=3（2k-1）-2=6k-5=a3k-2，
    b2k=3•2k-2=6k-2∉A，
    ∴a3k-2=b2k-1＜a3k-1＜b2k＜a3k，k=1，2，3，…，
    即当n=4k-3，k∈N*时，cn=6k-5；
    当n=4k-2，k∈N*时，cn=6k-3；
    当n=4k-1，k∈N*时，cn=6k-2；
    当n=4k，k∈N*时，cn=6k-1．
    ∴{cn}的通项公式是cn=
    6k-1，n=4k-3
    6k-3，n=4k-2
    6k-2，n=4k-1
    6k-1，n=4k
    ，
    即cn=
    3n-1
    2
    ，n=2k-1
    3n
    2
    ，n=4k-2
    3n-2
    2
    ，n=4k
    ．
    点评：本题考查数列与函数的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2k=72，且ak+1=18-ak，则正整数k=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）设数列{bn}的前n项和为Tn且Tn+
    an+12n
    =λ    （λ为常数）．令cn=b2n（n∈N※）求数列{cn}的前n项和Rn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设等差数列{an}的前n项之和为Sn满足S10-S5=20，那么a8=
    4
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a4-1)3+2012(a4-1)=1，(a2009-1)3+2012(a2009-1)=-1，则下列结论中正确的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，S6=36，则S3=（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案