Question

【题目】已知函数.

（1）确定函数在定义域上的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）

【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，对其求导得，令，再利用导数判断的单调性得其最大值为0，即在定义域上恒成立，故可得的单调性；（2）可将题意整理为在上恒成立，令，分为， 和三种情形分别进行讨论.

试题解析：（1）函数的定义域为， ，

令，则有，

令，解得，所以在上， ， 单调递增，

在上， ， 单调递减.

又，所以在定义域上恒成立，即在定义域上恒成立，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）由在上恒成立得： 在上恒成立.

整理得： 在上恒成立.

令，易知，当时， 在上恒成立不可能，∴，

又， ，

当时， ，又在上单调递减，所以在上恒成立，则在上单调递减，又，所以在上恒成立.

当时， ， ，又在上单调递减，所以存在，使得，

所以在上，在上，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，所以在上恒成立，

所以在上恒成立不可能.

综上所述， .