Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）经过点P（4，

15

），且双曲线C的渐近线与圆x²+（y-3）²=4相切．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设F（c，0）是双曲线C的右焦点，M（x₀，y₀）是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由双曲线过定点得到关于a，b的方程，再由双曲线C的渐近线与圆x²+（y-3）²=4相切得到关于a，b的另一方程，联立后求得a，b的值，则双曲线的方程可求；
（2）求出双曲线的两个焦点坐标，由定义得到M的坐标所满足的关系式，求出乙MF为直径的圆的圆心坐标和半径，然后利用圆心距和半径的关系得答案．

解答：解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1经过点P（4，

15

），所以

16

a2

-

15

b2

=1①．
∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x²+（y-3）²=4相切，
所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，
即

|3a|

b2+a2

=2，整理得5a²=4b²②．
联立①与②，解得

a2=4 b2=5

，
∴双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1；
（2）由（1）得，c=

a2+b2

=3，所以双曲线C的右焦点为F（3，0）．
设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，
所以|MF′|-|MF|=4，即

(x0+3)2+y02

-

(x0-3)2+y02

=4，
所以即

(x0+3)2+y02

=

(x0-3)2+y02

+4，
因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r₁=2；
以MF为直径的圆的圆心为(

x0+3

2

，

y0

2

)，半径为r2=

1

2

(x0-3)2+y02

，
所以两圆圆心之间的距离为d=

( x0+3 2 )2+( y0 2 )2

=

1

2

(x0+3)2+y02

．
因为d=

1

2

(x0+3)2+y02

=

1

2

[4+

(x0-3)2+y02

]=2+

1

2

(x0-3)2+y02

=r1+r2，
∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．

点评：本题考查了双曲线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了圆与圆关系的应用，考查了计算能力，是中档题．