Question

【题目】已知直线y=x﹣4被抛物线y2=2mx（m≠0）截得的弦长为 ，求抛物线的标准方程．

Answer 1

【答案】解：设直线y=x﹣4与抛物线y2=2mx交于点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）， 由 消去y，可得x2﹣2（4+m）x+16=0，
∴x1+x2=2（4+m），x1x2=16，
可得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4（4+m）2﹣4×16=4m2+32m，
（y1﹣y2）2=[（x1﹣4）﹣（x2﹣4）]2=（x1﹣x2）2=4m2+32m，
因此，|AB|= = = ，
解之得m=1或﹣9，可得抛物线的标准方程是y2=2x或y2=﹣18x
【解析】设直线与抛物线相交于点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），将直线方程与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由韦达定理得到x1+x2=2（4+m），x1x2=16．根据两点的距离公式与直线的方程，将AB长表示成关于m的式子，结合题意建立关于m的等式，解之得到实数m的值，即可得到所求抛物线的标准方程．