以下关于椭圆的命题中真命题的个数是( )?①“-3＜m＜5 是“方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示椭圆的充要条件,?②在平面直角坐标系中.已知△ABC的顶点A且顶点C在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上.则$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{5}{3}$,?③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．以下关于椭圆的命题中真命题的个数是（　　）
?①“-3＜m＜5”是“方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示椭圆”的充要条件；
?②在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（-3，0），B（3，0）且顶点C在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上，则$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{5}{3}$；
?③椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上的点到直线l：x+y=6距离的最小值为$\sqrt{2}$；
④椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的内接平行四边形ABCD面积的最大值是4．

A．

B．

C．

D．

分析 ①方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示椭圆?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解出即可判断出结论；
?②由椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1，可得AC+BC=2a=10，$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$，$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{AC+BC}{AB}$=$\frac{10}{6}$，即可判断出结论；
?③设椭圆C上的点P（4cosθ，3sinθ），则P到直线l：x+y=6距离d=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可判断出结论；
④椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的内接平行四边形为内接矩形时ABCD面积的最大值为2ab，即可判断出结论．

解答解：?①方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示椭圆?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解得-3＜m＜5，且m≠1，因此?“-3＜m＜5”是“方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示椭圆”的必要充分条件，因此不正确；
?②在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（-3，0），B（3，0）且顶点C在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上，则AC+BC=2a=10，∴$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$，
则$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{AC+BC}{AB}$=$\frac{10}{6}$=$\frac{5}{3}$，因此$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{5}{3}$不正确；
?③椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上的点P（4cosθ，3sinθ）到直线l：x+y=6距离d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此不正确；
④椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的内接平行四边形为内接矩形时ABCD面积的最大值2ab=2×2×1=4，正确．
综上只有④正确．
故选：A．

点评本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、正弦定理、点到直线的距离公式、矩形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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A．

110

B．

C．

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