Question

已知函数f（x）=（x²+1）lnx-2x+2的定义域为[1，+∞）．
（I）证明函数y=f（x）在其定义域上单调递增；
（II）设0＜a＜b，求证：lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）由已知函数的解析式，及定义域，我们易求出函数的导函数的解析式，结合对数的运算性质，我们易判断导函数的符号，进而得到函数y=f（x）在其定义域上单调递增；
（II）结合（I）的结论，及0＜a＜b，我们易得f(

b

a

)＞0恒成立，利用对数的运算性质及不等式的性质，易得到结论．

解答：解：（I）证明：∵函数f（x）=（x²+1）lnx-2x+2的定义域为[1，+∞）．
∴当x∈[1，+∞）时，f′（x）=2x•lnx+（x+

1

x

）-2≥0恒成立
故函数f（x）=（x²+1）lnx-2x+2在定义域[1，+∞）上单调递增；
（II）由（I）知，?x∈[1，+∞）．
f（x）≥f（1）=0恒成立
又∵0＜a＜b，
∴

b

a

＞1
∴f(

b

a

)=[（

b

a

）²+1]ln

b

a

-2

b

a

+2＞0
即lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性及函数单调性的性质，其中根据已知函数的解析式求出函数导函数的解析式，并判定其符号进而判断函数的单调性是解答本题的关键．