【题目】为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据: 
取1.4)．
【答案】(1) 8;(2)1.6.
【解析】试题分析：（1）根据题中条件每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间
(单位：天)变化的函数关系已经给出，则易得一次喷洒4个单位的净化剂时的函数关系式： 
，这样就得到一个分段函数，对分段函数的处理常用的原则：先分开，现合并，解两个不等式即可求解; （2）中若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（
）个单位的药剂，根据题意从第6天开始浓度来源与两方面，这是题中的难点，前面留下的为： 
，后面新增的为： 
，所得化简即可得到： 
，结合基本不等式知识求出最小值
，最后解一个不等式： 
，即可求解．
试题解析：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度
则当
时，由
，解得
，所以此时
． 3分
当
时，由
解得
，所以此时
．
综合得
，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． 7分
（2）设从第一次喷洒起，经x（
）天，
浓度
． 10分
因为
，而
，
所以
，故当且仅当
时，y有最小值为
.
令
，解得
，所以a的最小值为
． 14分
全优考典单元检测卷及归类总复习系列答案
品学双优卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设{an}是等比数列，公比为q（q＞0且q≠1），4a1 ， 3a2 ， 2a3成等差数列，且它的前4项和为S4=15．
（1）求{an}通项公式；
（2）令bn=an+2n（n=1，2，3…），求{bn}的前n项和．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，平面
平面
， 
， 
， 
， 
为
中点．
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在点
，使得
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某高校进行社会实践，对
岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在
岁， 
岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的
、
.
（1）求
岁与
岁年龄段“时尚族”的人数；
（2）从
岁和
岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在
岁内的概率。
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知一动点
， 
到点
的距离减去它到
轴距离的差都是
．
（
）求动点
的轨迹方程．
（
）设动点
的轨迹为
，已知定点
、
，直线
、
与轨迹
的另一个交点分别为
、
．
（i）点
能否为线段
的中点，若能，求出直线
的方程，若不能，说明理由．
（ii）求证：直线
过定点．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，椭圆
的左、右焦点为
，右顶点为
，上顶点为
，若
， 
与
轴垂直，且
.
（1）求椭圆方程；
（2）过点
且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于
两点，已知点
，当
时，求满足
的直线
的斜率
的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】椭圆
的离心率是
，过点
的动直线
与椭圆相交于
两点，当直线
与
轴平行时，直线
被椭圆
截得的线段长为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）在
轴上是否存在异于点
的定点
，使得直线
变化时，总有
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
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