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18.2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则cos2θ的值等于(  )
A.1B.$-\frac{24}{25}$C.$\frac{7}{25}$D.-$\frac{7}{25}$

分析 根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ-sinθ,先利用小正方形的面积求得∴(cosθ-sinθ)2的值,根据θ为直角三角形中较小的锐角,判断出cosθ>sinθ 求得cosθ-sinθ的值,进而求得2cosθsinθ利用配方法求得(cosθ+sinθ)2的进而求得cosθ+sinθ,利用二倍角公式把cos2θ=cos2θ-sin2θ 展开后,把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案.

解答 解:依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ-sinθ,
∵小正方形的面积是$\frac{1}{25}$,∴(cosθ-sinθ)2=$\frac{1}{25}$.
又θ为直角三角形中较小的锐角,∴cosθ>sinθ,∴cosθ-sinθ=$\frac{1}{5}$.
又∵(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$,∴2cosθsinθ=$\frac{24}{25}$,
∴1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$,即(cosθ+sinθ)2=$\frac{49}{25}$,∴cosθ+sinθ=$\frac{7}{5}$.
∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=$\frac{7}{5}$•$\frac{1}{5}$=$\frac{7}{25}$,
故选:C.

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值,同角三角函数的基本关系.考查了学生综合分析推理和基本的运算能力,属于中档题.

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