Question

【题目】函数f（x）=x2+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求a；
（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）≥nx对任意的实数x≥1成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2+ax+3，

且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，

∴a=﹣4

（2）解：由（1）得：f（x）=x2﹣4x+3，

∴f（x）=（x﹣2）2﹣1，

∴f（x）最小值为﹣1，

∴不等式f（x）≥m的解集为R，

实数m的取值范围为m≤﹣1

（3）解：∵f（x）≥nx对任意的实数x≥1都成立，

即x2﹣4x+3≥nx对任意的实数x≥1都成立，

两边同时除以x得到：x+ ﹣4≥n对任意的实数x≥1都成立，

令g（x）=x+ ﹣4，x≥1，

g′（x）=1﹣ = ，

令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：x＜ ，

故g（x）在[1， ）递减，在（ ，+∞）递增，

故g（x）min=g（ ）=﹣4+2 ，

故n≤g（x）min=﹣4+2

【解析】（1）根据二次函数根与系数的关系求出a的值即可；（2）求出函数的解析式，根据二次函数的性质求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；（3）问题转化为x+ ﹣4≥n对任意的实数x≥1都成立，令g（x）=x+ ﹣4，x≥1，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出n的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了解一元二次不等式的相关知识点，需要掌握求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边才能正确解答此题．