Question

6．如图，在△ABC中，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则$\overrightarrow{AP}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$
• B． $\frac{1}{3}\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b$
• C． $\frac{2}{7}\overrightarrow a+\frac{4}{7}\overrightarrow b$
• D． $\frac{4}{7}\overrightarrow a+\frac{2}{7}\overrightarrow b$

Answer 1

分析 由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出$\overrightarrow{AP}$．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CR}$
=$\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BR}）$=$\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）+\frac{1}{2}\overrightarrow{BR}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BQ}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}（\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}（\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{8}\overrightarrow{AP}$，
∴$\frac{7}{8}$$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}$，
故选：C．

点评 本题考查平面向量基本定理，表示出$\overrightarrow{AP}$是解决问题的关键，属中档题．