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6.已知函数f(x)=x+$\frac{a}{x}$+lnx(a∈R),在(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围为(-∞,2].

分析 由题意可得,当x>1时,y′=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0,即a≤x2+x,由此求得a的范围.

解答 解:∵函数f(x)=x+$\frac{a}{x}$+lnx在(1,+∞)内单调递增,
∴当x>1时,y′=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0,
即a≤x2+x,
由x2+x在x>1递增,可得x2+x>2,
∴a≤2,
即a的取值范围为(-∞,2],
故答案为:(-∞,2].

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查不等式恒成立问题的解法,属于中档题.

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