Question

已知函数f（x）=2x²-1
（Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由偶函数的定义即可证明；
（Ⅱ）根据定义法证明单调性的步骤即可证明．

解答： （Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都有f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），∴f（x）是偶函数．
（Ⅱ）证明：在区间（-∞，0]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有
f(x1)-f(x2)=(2x12-1)-(2x22-1)=2(x12-x22)=2(x1-x2)•(x1+x2)，
∵x₁，x₂∈（-∞，0]，x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0，
即（x₁-x₂）•（x₁+x₂）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的证明，属于基本概念与基本方法考查题，此类题要求熟练掌握，保证不失分．