Question

8．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=$\frac{{\sqrt{10}}}{8}$，cos∠ADC=-$\frac{1}{4}$．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求DC的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinB，sin∠ADC的值，利用∠BAD=∠ADC-∠B，根据两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．
（2）在△ABD中，由正弦定理即可计算求DC的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）因为$cosB=\frac{{\sqrt{10}}}{8}$，
所以sinB=$\frac{{3\sqrt{6}}}{8}$，…（2分）
又cos∠ADC=$-\frac{1}{4}$，
所以sin∠ADC=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，…（4分）
所以sin∠BAD=sin（∠ADC-∠B）…（6分）
=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$×$\frac{{\sqrt{10}}}{8}-$（$-\frac{1}{4}$）×$\frac{{3\sqrt{6}}}{8}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…（8分）
（2）在△ABD中，由正弦定理，得$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sinBAD}$，…（10分）
即$\frac{3}{{\frac{{3\sqrt{6}}}{8}}}=\frac{BD}{{\frac{{\sqrt{6}}}{4}}}$，
解得BD=DC=2．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．