Question

已知点M（3，1），直线l：ax-y+4=0及圆C：x²+y²-2x-4y+1=0
（1）求经过M点的圆C的切线方程；
（2）若直线l与圆C相切，求a的值；
（3）若直线l与圆C相交与A，B两点，且弦AB的长为2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）圆方程化为标准方程，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求经过M点的圆C的切线方程；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出a的值；
（3）利用弦心距与半径，半弦长的关系，即可求出a的值．

解答：解：（1）圆方程化为（x-1）²+（y-2）²=4
∴圆心（1，2），半径为2
斜率不存在时，经过M点的直线方程为x=3，满足题意；
设经过M点的圆C的切线方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0
∴d=

|k-2-3k+1|

k2+1

=2
∴k=

3

4

∴切线方程为3x-4y-5=0
综上，经过M点的圆C的切线方程为x=3和3x-4y-5=0；
（2）∵直线l与圆C相切，∴

|a-2+4|

a2+1

=2，解得a=0或a=

4

3

；
（3）圆心（1，2）到直线ax-y+4=0的距离为

|a+2|

a2+1

，
∵直线l与圆C相交与A，B两点，且弦AB的长为2

3

，
∴（

|a+2|

a2+1

）²+（

2 3

2

）²=4，解得a=-

3

4

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题．