Question

【题目】点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）． ①动点P满足 = + + ，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；
⑤动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．

Answer 1

【答案】①②③④⑤
【解析】解：对于①，∵动点P满足 = + + ， ∴ = + ，
则点P是△ABC的重心，故①正确；
对于②，∵动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ）（λ＞0），
又 + 在∠BAC的平分线上，
∴ 与∠BAC的平分线所在向量共线，
∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；
对于③，动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ），（λ＞0），
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则| |sinB=| |sinC=AD，
= （ + ），向量 + 与BC边的中线共线，
因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；
对于④，动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ） =λ（| |﹣| |）=0，
∴ ⊥ ，
∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；
对于⑤，动点P满足 = +λ（ + ）（λ＞0），
设 = ，
则 =λ（ + ），
由④知（ + ） =0，
∴ =0，
∴ ⊥ ，
∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；
∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
所以答案是：①②③④⑤．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．