Question

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为（n∈N^*）．已知数列{a_n}前n项的“倒平均数”为，记c_n=（n∈N^*）．
（1）比较c_n与c_n+1的大小；
（2）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{c_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{b_n}满足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n-1-b_n-2|（n∈N^*且n≥3），且{b_n}是周期为3的周期数列，设T_n为{b_n}前n项的“倒平均数”，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，可得S_n=2n²+4n，进而可得a_n=4n+2（n∈N^*），c_n==4-，从而可得c_n+1-c_n＞0，由此可得结论；
（2）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤c_n对任意n∈N^*恒成立，从而可得x²-4x+3≥0，解不等式，即可得到结论；
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，分类讨论，结合{b_n}是周期为3的周期数列，可得{b_n}为1，1，0，1，1，0，…，进而可得S_n=，由此可求结论．
解答：解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，由题意得，所以S_n=2n²+4n，…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，而a₁也满足此式．
所以a_n=4n+2（n∈N^*）．…（1分）
所以c_n==4-，…（1分）
∴c_n+1-c_n==＞0，因此c_n＜c_n+1．…（1分）
（2）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤c_n对任意n∈N^*恒成立，…（2分）
由（1）知数列{c_n}是递增数列，所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，（2分）
解得x≤1或x≥3．…（1分）
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．…（1分）
（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，…（1分）
①若b≥1，则b₃=b-1，b₄=|b₃-b₂|=1，b₅=|2-b|，因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₅=b₂=b，所以|2-b|=b，所以2-b=b，2-b=-b（舍），故b=1．
此时，{b_n}为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．…（1分）
②若b＜1，则b₃=1-b，b₄=|b₃-b₂|=|1-2b|，因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₄=b₁=1，所以|1-2b|=1，即1-2b=1或1-2b=-1，解得b=0或b=1，均不合题意．…（1分）
设数列{b_n}的前n项和为S_n，则对n∈N^*，有S_n=…（1分）
即S_n=，
所以T_n=，
因此T_n=．（2分）
点评：本题考查新定义，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查数列的求和与极限，确定数量的通项是关键．