Question

8．已知f（x+y）=f（x）+f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（　　）

• A． 奇函数
• B． 偶函数
• C． 既是奇函数又是偶函数
• D． 不能判断奇偶性

Answer 1

分析 根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=0可得f（0）=0，再令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x），结合f（0）=0可得f（-x）=-f（x），由函数的奇偶性分析可得答案．

解答 解：根据题意，
在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=0可得f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x可得f（0）=f（x）+f（-x），
而f（0）=0，
则有f（-x）=-f（x），
即函数f（x）是奇函数；
故选：A．

点评 本题考查抽象函数的运用，涉及函数奇偶性的运用，对于抽象函数问题，一般由特殊值法分析．