Question

12．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，D是BC的中点，A₁D⊥平面ABC．
（1）求证：BC⊥A₁A；
（2）若A₁A=6，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，则BC⊥AD，证明BC⊥平面A₁DA，即可证明BC⊥A₁A；
（2）若A₁A=6，求出A₁D=2$\sqrt{6}$，即可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答 （1）证明：连接AD，则BC⊥AD，
∵A₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁D⊥BC，
∵A₁D∩AD=D，
∴BC⊥平面A₁DA，
∵BC⊥A₁A；
（2）解：∵AD=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，A₁D⊥AD，A₁A=6，
∴A₁D=2$\sqrt{6}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×2\sqrt{6}$=8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直，考查三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．