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已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,焦点为,抛物线上一点的横坐标为2,且.

(1)求抛物线的方程;

(2)过点作直线交抛物线于两点,求证: .

 

(1)(2)详见解析.

【解析】

试题分析:(1)可利用待定系数法设抛物线方程为求解;

(2)因为是直线与圆锥曲线的相交问,可以设直线方程(斜率不存在时单独讨论),然后联立抛物线方程和直线方程运用韦达定理结合条件来求解.

试题解析:【解析】
(1)由题设抛物线的方程为:

则点的坐标为,点的一个坐标为2

,∴4

,∴,∴.6

(2)两点坐标分别为

法一:因为直线的斜率不为0,设直线的方程为

方程组

因为

所以

=0

所以.

法二:①当的斜率不存在时,的方程为,此时

所以. 8

的斜率存在时,设的方程为

方程组

所以10

因为

所以

所以.

由①②得.12

考点:1.抛物线的标准方程;2.直线与圆锥曲线的位置关系.

 

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