Question

直线bx-ay+c=0（a＞0）是曲线y=ln

1

x

在x=3处的切线，f（x）=a•2^x+b•3^x，若f（x+1）＞f（x），则x的取值范围是（　　）

• A、（-2，1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，1）
• D、（-2，-1）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：由题意知y=ln

1

x

，y′=-

1

x

，从而写出切线方程-x-3y+3-3ln3=0，从而求出a，b；从而化f（x+1）＞f（x）为3•2^x+1-3^x+1＞3•2^x-3^x，即(

2

3

)x＞

2

3

，从而解得．

解答： 解：∵y=ln

1

x

，y′=-

1

x

；
∴当x=3时，y=-ln3，y′=-

1

3

；
故切线方程为y=-

1

3

（x-3）-ln3；
故-x-3y+3-3ln3=0，
故b=-1，a=3；
故f（x）=3•2^x-3^x，
则f（x+1）＞f（x）可化为3•2^x+1-3^x+1＞3•2^x-3^x，
故3•2^x＞2•3^x，
即(

2

3

)x＞

2

3

；
故x＜1；
故x的取值范围是（-∞，1）；
故选C．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了指数函数的性质应用，属于中档题．