Question

一个袋子中有3个新球和7个旧球，逐个从袋中取球，直到取到旧球时停止．若新球取出打过比赛，则认为取出的新球变为旧球．记X为取球的次数，设袋中每个球被取到的可能性相同．在下面两种情况下分别求出X的概率分布：
（1）每次取出的球都不放回袋中；（2）每次取出一球后打比赛，赛完后放回袋中．

Answer 1

分析：（1）随机变量X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，X=1表示第1次就取到旧球，X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，以此类推，做出概率，写出分布列．
（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4，X=1表示第1次就取到旧球，X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，以此类推，做出概率，写出分布列．

解答：解：（1）随机变量X的可能取值为1，2，3，4．X=1表示第1次就取到旧球，P(X=1)=

7

10

；
X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，P(X=2)=

3×7

10×9

=

7

30

；
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到旧球，P(X=3)=

3×2×7

10×9×8

=

7

120

；
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到旧球，P(X=4)=

3×2×1×7

10×9×8×7

=

1

120

．
∴X的分布表为：

X	1	2	3	4
P	7 30	7 30	7 120	1 120

（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4．
X=1表示第1次就取到旧球，P(X=1)=

7

10

；
X=2表示第1次取到新球，第2次取到旧球，P(X=2)=

3×8

10×10

=

6

25

；
X=3表示第1、2次取到新球，第3次取到旧球，P(X=3)=

3×2×9

10×10×10

=

27

500

；
X=4表示第1、2、3次取到新球，第4次取到旧球，P(X=4)=

3×2×1×10

10×10×10×10

=

3

500

．
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	7 10	6 25	27 500	3 500

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，主要看清楚两个问题中的不同点，一个是有放回抽样，一个是不放回抽样，注意事件的概率不要出错．