Question

如图，已知直线l：x=my+4（m∈R）与x轴交于点P，交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，记直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）若P为抛物线的焦点，求a的值，并确定抛物线的准线与以AB为直径的圆的位置关系．
（Ⅱ）试证明：k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析：（I）由直线方程算出P（4，0），从而得出a=8．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据抛物线的定义列式，化简可得M到准线的距离d恰好等于圆的半径，从而得到直线与圆相切．
（II）直线l与抛物线消去x，得y²-2amy-8a=0，利用根与系数的关系将k₁+k₂化成关于A、B坐标的式子，化简整理可得k₁+k₂=0，即k₁+k₂为定值．

解答：解：（Ⅰ）由直线l：x=my+4得点P（4，0），故

a

2

=4⇒a=8…（2分）
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），它们的中点M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
设点M到抛物线的准线的距离为d，则d=

x1+x2

2

+4，…（4分）
∵r=

1

2

|AB|=

x1+4+x2+4

2

=

x1+x2

2

+4=d，
∴抛物线的准线与以AB为直径的圆相切．…（6分）
（Ⅱ）由直线l：x=my+4得点P（4，0），∴Q（-4，0），
将直线l：x=my+4与抛物线的方程y²=2ax联立得y²-2amy-8a=0，
∵△＞0恒成立，

y1+y2=2am y1y2=-8a

(*)

…（9分）
∴k1+k2=

y1

x1+4

+

y2

x2+4

=

y1(x2+4)+y2(x1+4)

(x1+4)(x2+4)

=

y1(my2+8)+y2(my1+8)

(x1+4)(x2+4)

…（11分）
即k1+k2=

2my1y2+8(y1+y2)

(x1+4)(x2+4)

，代入（*）得k₁+k₂=0，故k₁+k₂为定值得征．…（13分）

点评：本题给出抛物线的焦点弦为直径的圆，求该圆与准线的位置关系．着重考查了抛物线的定义、简单几何性质，直线与圆的位置关系和直线的斜率等知识，属于中档题．