Question

（2013•醴陵市模拟）如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，AD=2，AB=1．SP与平面ABCD所成角为

π

4

． 
（1）求证：平面SPD⊥平面SAP；
（2）求三棱锥S-APD的体积．

Answer 1

分析：（1）先证明SA⊥PD，再证明AP⊥PD，利用线面垂直的判定，可得PD⊥平面SAP，根据面面垂直的判定，即可证得结论；
（2）利用三棱锥S-APD的体积=

1

3

×S△APD×SA，可得结论．

解答：（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，PD?底面ABCD
∴SA⊥PD
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，P为BC边的中点，∴AP=PD=

2

因为AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
∵SA∩AP=A
∴PD⊥平面SAP
∵PD?平面SPD，
∴平面SPD⊥平面SAP；
（2）三棱锥S-APD的体积=

1

3

×S△APD×SA=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×

2

=

2

3

．

点评：本题考查线面、面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．