Question

已知椭圆C:  (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆上.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.

Answer 1

(I) (II)

解析试题分析：（Ⅰ） 
所以椭圆方程为                                             ……4分
（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：
由 ，得，
得：，即                                       ……6分
设， 
(1)若为直角顶点，则 ，即 ，
，所以上式可整理得，
，解，得，满足            ……8分
（2）若为直角顶点，不妨设以为直角顶点，，则满足：
，解得，代入椭圆方程，整理得，
解得，，满足   ……10分
时，三角形为直角三角形.    ……12分
考点：本小题主要考查圆的标准方程，椭圆的标准方程，椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.
点评：每年高考都会考查圆锥曲线问题，此类题目一般运算量较大，主要考查学生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.