Question

某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产1台需要增加投入25元，为了对今后的销售提供参考数据，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：H（x）=500x-

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x²，其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500．
（Ⅰ）若x为年产量，y为利润，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）本题考查的是分段函数的有关知识，当0≤x≤500时，y=500x-

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x2-（5000+25x），当x＞500时，y=500×500-

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×500²-（5000+25x）；
（Ⅱ）用配方法化简解析式，求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当0≤x≤500时，产品全部售出，
∴y=500x-

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x²-（5000+25x）
即y=-

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x²+475x-5000，
当x＞500时，产品只能售出500台，
∴y=500×500-

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×500²-（5000+25x）
即，y=-25x+120000，
则有y=

- 1 2 x2+475x-5000，0≤x≤500 120000-25x，x＞500

；
（Ⅱ）当0≤x≤500时，y=-

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（x-475）²+107812.5，
当x＞500时，y=120000-25x＜120000-25×500=107500，
故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107812.5元．

点评：本题考查的是二次函数的实际应用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，属于基础题．