Question

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若{a_n}的任一项a_n∈A∩B，首项a₁是A∩B中的最大数，且-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(

2

2

)an+13n-9，令T_n=24（b₂+b₄+b₆+…+b_2n），试比较T_n与

48n

2n+1

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 题意可得，A∩B=B，A∩B中的最大数为-3，即a₁=-3，a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

2

=45d-30
由-750＜S₁₀＜-300可得-16＜d＜-6，结合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的等差数列可知d=-6m（m∈Z，m≠0），且-16＜-6m＜-6可求m，进而可求d，根据等差数列的通项公式可求
（Ⅱ）由bn=(

2

2

)an+13n-9=(

2

2

)n，利用等比数列的求和公式可求可求T_n，然后猜想后利用 数学归纳法进行证明即可或利用二项展开式进行证明也可以

解答：解：（Ⅰ）根据题设可得：集合A中所有的元素可以组成以-3为首项，-2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列．
由题意，有A∩B=B，A∩B中的最大数为-3，即a₁=-3…（2分）
设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=-3+（n-1）d，S10=

10(a1+a10)

2

=45d-30
因为-750＜S₁₀＜-300，∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列
所以d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6⇒m=2，所以d=-12…（5分）
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=9-12n（n∈N^*） …（6分）
（Ⅱ）bn=(

2

2

)an+13n-9=(

2

2

)n
Tn=24(b2+b4+b6+…+b2n)=24×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=24(1-

1

2n

)…（8分）
Tn-

48n

2n+1

=24-

24

2n

-

48n

2n+1

=

24(2n-2n-1)

2n(2n+1)

于是确定T_n与

48n

2n+1

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，…
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1…（10分）
证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算可知成立．
（2）假设n=k时，2^k＞2k+1，
则2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时猜想也成立
根据（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1
∴当n=1，2时，Tn＜

48n

2n+1

，当n≥3时Tn＞

48n

2n+1

…（13分）
证法2：当n≥3时2n=(1+1)n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

≥

C

0 n

+

C

1 n

+

C

n-1 n

+

C

n n

=2n+2＞2n+1
∴当n=1，2时，Tn＜

48n

2n+1

，当n≥3时Tn＞

48n

2n+1

…（13分）

点评：本题以集合为载体，主要考查了等差数列的通项公式的求解，数学归纳法在证明数学命题中的应用，属于数列知识的简单应用