Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
（1）实数a为何值时，使得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（2）证明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，要使得f（x）在（0，+∞）内单调递增，只需当x＞0时，f′（x）≥0恒成立，即可求出实数a的值；
（2）要证明：（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

，只需证明（

2015

2014

）²⁰¹⁵＞e，两边取自然对数，由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）内单调递增，即可得出结论．

解答： （1）解：f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）的导数
f′（x）=

x+1-a

(x+1)2

，
由于f（x）在（0，+∞）内单调递增，
即有f′（x）≥0在x＞0时恒成立，
即x+1-a≥0在x＞0时恒成立，则a≤x+1，即a≤1，
由于a＞0，则a的取值范围是（0，1]；
（2）证明：要证（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

，即证（

2015

2014

）²⁰¹⁵＞e，
两边取自然对数，2015ln

2015

2014

＞1，即证ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

＞0．
由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）内单调递增，
由于

1

2014

＞0，则f（

1

2014

）＞f（0）=0，
令x=

1

2014

，则f（

1

2014

）=ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

，
则有f（

1

2014

）=ln（1+

1

2014

）-

1

2014+1

＞0，
即不等式（

2014

2015

）²⁰¹⁵＜

1

e

成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．